Diferencia entre asociativo y conmutativo

Asociativo vs conmutativo
 

En nuestra vida cotidiana, tenemos que usar números cada vez que necesitemos obtener una medida de algo. En la tienda de comestibles, en la estación de servicio, e incluso en la cocina, necesitamos sumar, restar y multiplicar dos o más cantidades. De nuestra práctica, realizamos estos cálculos con bastante esfuerzo. Nunca notamos ni cuestionamos por qué hacemos estas operaciones de esta manera particular. O por qué estos cálculos no se pueden hacer de una manera diferente. La respuesta está oculta en la forma en que estas operaciones se definen en el campo matemático del álgebra.

En el álgebra, una operación que involucra dos cantidades (como la adición) se define como una operación binaria. Más precisamente es una operación entre dos elementos de un conjunto y estos elementos se denominan 'operando'. Muchas operaciones en matemáticas, incluidas las operaciones aritméticas mencionadas anteriormente, las que se encuentran en la teoría del conjunto, el álgebra lineal y la lógica matemática se pueden definir como operaciones binarias.

Hay un conjunto de reglas de gobierno relacionadas con una operación binaria específica. Las propiedades asociativas y conmutativas son dos propiedades fundamentales de las operaciones binarias.

Más sobre la propiedad conmutativa

Supongamos que alguna operación binaria, denotada por el símbolo ⊗, se realiza en los elementos A y B. Si el orden de los operandos no está afectando el resultado de la operación, se dice que la operación es conmutativa. i.mi. si A ⊗ B = B ⊗ A entonces la operación es conmutativa.

La adición y la multiplicación de las operaciones aritméticas son conmutativas. El orden de los números agregados o multiplicados no afecta la respuesta final:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Pero en el caso del cambio de división en el orden le da al recíproco de la otra, y en sustracción el cambio da lo negativo de la otra. Por lo tanto,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 y 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0.8 y 5 ÷ 4 = 1.25 [En este caso A,B ≠ 1 y 0]

De hecho, se dice que la sustracción es anticomutativa; dónde A - B = - (B - A).

Además, los conectivos lógicos, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia también son conmutativas. Las funciones de la verdad también son conmutativas. El sindicato de operaciones establecidos y la intersección son conmutativas. La adición y el producto escalar de los vectores también son conmutativos.

Pero la sustracción vectorial y el producto vectorial no son conmutativos (el producto vectorial de dos vectores es anticomutativo). La adición de matriz es conmutativa, pero la multiplicación y la resta no son conmutativas. (La multiplicación de dos matrices puede ser conmutativa en casos especiales, como la multiplicación de una matriz con su matriz inversa o de identidad; pero definitivamente las matrices no son conmutativas si las matrices no son del mismo tamaño)

Más sobre propiedad asociativa

Se dice que una operación binaria es asociativa si el orden de la ejecución no afecta el resultado cuando hay dos o más ocurrencias del operador presente. Considere los elementos A, B y C y la operación binaria ⊗ . Se dice que la operación ⊗ es asociativa si

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

De las funciones aritméticas básicas, solo la adición y la multiplicación son asociativas.

A + (B + C) = (A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

La resta y la división no son asociativas;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 y (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2.4 y (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0.2666

La disyunción, la conjunción y la equivalencia de los conectivos lógicos son asociativos, al igual que la unión de operaciones establecidas y la intersección. La adición de matriz y vector se asocia. El producto escalar de los vectores es asociativo, pero el producto vectorial no está. La multiplicación matriz es asociativa solo en circunstancias especiales.

¿Cuál es la diferencia entre la propiedad conmutativa y asociativa??

• Tanto la propiedad asociativa como la propiedad conmutativa son propiedades especiales de las operaciones binarias, y algunos los satisfacen y otros no.

• Estas propiedades se pueden ver en muchas formas de operaciones algebraicas y otras operaciones binarias en matemáticas, como la intersección y la unión en la teoría del conjunto o los conectivos lógicos.

• La diferencia entre la conmutación y la asociativa es que la propiedad conmutativa establece que el orden de los elementos no cambia el resultado final, mientras que la propiedad asociativa establece que el orden en que se realiza la operación no está afectando la respuesta final.