Diferencia entre derivado y diferencial

Derivado vs diferencial
 

En el cálculo diferencial, el derivado y el diferencial de una función están estrechamente relacionados pero tienen significados muy diferentes, y se usan para representar dos objetos matemáticos importantes relacionados con funciones diferenciables.

¿Qué es derivado??

La derivada de una función mide la velocidad a la que el valor de la función cambia a medida que cambia su entrada. En las funciones multivariables, el cambio en el valor de la función depende de la dirección del cambio de los valores de las variables independientes. Por lo tanto, en tales casos, se elige una dirección específica y la función se diferencia en esa dirección particular. Esa derivada se llama derivada direccional.  Las derivadas parciales son un tipo especial de derivados direccionales.

Derivación de una función con valor de vector F se puede definir como el límite [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ a 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x+h \\ \\ BoldSymbol u)-F (\\ BoldSymbol x) h [/latex] donde sea que exista finamente. Como se mencionó anteriormente, esto nos da la tasa de aumento de la función F a lo largo de la dirección del vector u. En el caso de una función de valor único, esto se reduce a la definición bien conocida de la derivada, [látex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ a 0 \\ frac f (x+h) -f (x) h [/latex]

Por ejemplo, [látex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] está en todas partes diferenciable, y la derivada es igual al límite, [látex] \\ lim_ h \\ a 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/latex], que es igual a [látex] 3x^2 +4 [/látex]. Las derivadas de funciones como [látex] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/latex] existen en todas partes. Son respectivamente iguales a las funciones [látex] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/látex].                                                                                

Esto se conoce como el primer derivado. Por lo general, la primera derivada de la función F se denota por F ⁽¹⁾. Ahora que usa esta notación, es posible definir derivados de orden superior. [latex] \\ frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ a 0 \\ frac f^1) (x+h) -f ^(1) (x) h [/latex] es el derivado direccional de segundo orden, y denota el norte^th derivado por F ^(norte) para cada norte, [latex] \\ frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ a 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex], define el norte^th derivado.

Que es diferencial?

El diferencial de una función representa el cambio en la función con respecto a los cambios en la variable o variables independientes. En la notación habitual, para una función dada F de una sola variable X, el diferencial total del orden 1 DF es Dado por, [látex] df = f^1 (x) dx [/latex]. Esto significa que para un cambio infinitesimal en X(i.mi. dX), habrá una  F ⁽¹⁾(X)dX cambiar en F.

Usando límites, uno puede terminar con esta definición de la siguiente manera. Asumir ∆X es el cambio en X en un punto arbitrario X y ∆F es el cambio correspondiente en la función F. Se puede demostrar que ∆F = F ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, donde ϵ es el error. Ahora, el límite ∆x →0^∆F/_∆X= F ⁽¹⁾(X) (usando la definición de derivada previamente establecida) y, por lo tanto, ∆x →0^ϵ/_∆X= 0. Por lo tanto, es posible concluir que ∆x →0ϵ = 0. Ahora, denotando ∆x →0 ∆F como DF y ∆x →0 ∆X como DX La definición del diferencial se obtiene rigurosamente. 

Por ejemplo, el diferencial de la función [látex] f (x) = x^3+4x+5 [/latex] es [látex] (3x^2 +4) dx [/latex].

En el caso de funciones de dos o más variables, el diferencial total de una función se define como la suma de diferenciales en las direcciones de cada una de las variables independientes. Matemáticamente, se puede establecer como [latex] df = \\ sum_ i = 1^n \\ frac \\ parcial f \\ parcial x_ i dx_ i [/latex].