Diferencia entre eventos mutuamente excluyentes e independientes

Eventos mutuamente excluyentes vs independientes

Las personas a menudo confunden el concepto de eventos mutuamente excluyentes con eventos independientes. De hecho, estas son dos cosas diferentes.

Deje que A y B sean dos eventos asociados con un experimento aleatorio e. P (a) se llama la "probabilidad de a". Del mismo modo, podemos definir la probabilidad de B como P (B), probabilidad de A o B como P (A∪B) y probabilidad de A y B como P (A∩B). Entonces, p (a∪b) = p (a)+ p (b) -p (a∩b).

Sin embargo, se dice que dos eventos son mutuamente exclusivos si la ocurrencia de un evento no afecta al otro. En otras palabras, no pueden ocurrir simultáneamente. Por lo tanto, si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces a∩b = ∅ y, por lo tanto, eso implica p (a∪b) = p (a)+ p (b).

Deje que A y B sean dos eventos en un espacio muestral s. La probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido, se denota por P (A | B) y se define como; P (a | b) = p (a∩b)/p (b), proporcionado P (b)> 0. (de lo contrario, no está definido.)

Se dice que un evento A es independiente de un evento B, si la probabilidad de que A ocurra no está influenciada por si B ha ocurrido o no. En otras palabras, el resultado del evento B no tiene ningún efecto en el resultado del evento A. Por lo tanto, p (a | b) = p (a). Del mismo modo, B es independiente de A if P (B) = P (B | A). Por lo tanto, podemos concluir que si A y B son eventos independientes, entonces p (a∩b) = P (a).P (b)

Suponga que se enrolla un cubo numerado y se voltea una moneda justa. Deje que A sea el evento de que obtener una cabeza y B sean el evento de que rodar un número uniforme. Entonces podemos concluir que los eventos A y B son independientes, porque ese resultado de uno no afecta el resultado de la otra. Por lo tanto, p (a∩b) = p (a).P (b) = (1/2) (1/2) = 1/4. Dado que p (a∩b) ≠ 0, A y B no pueden ser mutuamente excluyentes.

Supongamos que una urna contiene 7 canicas blancas y 8 canicas negras. Definir el evento A como dibujar un mármol blanco y el evento B como dibujar un mármol negro. Suponiendo que cada mármol se reemplazará después de anotar su color, entonces P (a) y P (b) siempre serán lo mismo, sin importar cuántas veces nos sacemos de la urna. Reemplazar las canicas significa que las probabilidades no cambian de sorteo a sorteo, sin importar el color que elegimos en el último sorteo. Por lo tanto, el evento A y B son independientes.

Sin embargo, si las canicas se dibujaron sin reemplazo, entonces todo cambia. Bajo esta suposición, los eventos A y B no son independientes. Dibujar un mármol blanco la primera vez cambia las probabilidades de dibujar un mármol negro en el segundo sorteo y así sucesivamente. En otras palabras, cada sorteo tiene un efecto en el siguiente sorteo, por lo que los dibujos individuales no son independientes.