Diferencia entre Riemann Integral y Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

La integración es un tema principal en el cálculo. En un sentido de Broder, la integración puede verse como el proceso inverso de diferenciación. Al modelar problemas del mundo real, es fácil escribir expresiones que involucran derivados. En tal situación, se requiere la operación de integración para encontrar la función, que dio el derivado particular.

Desde otro ángulo, la integración es un proceso que resume el producto de una función ƒ (x) y Δx, donde Δx tiende a ser un cierto límite. Es por eso que usamos el símbolo de integración como ∫. El símbolo ∫ es de hecho, lo que obtenemos al estirar la letra S para referirse a la suma.

Riemann integral

Considere una función y = ƒ (x). La integral de y entre a y b, dónde a y b pertenecer a un conjunto X, está escrito como _b∫^aƒ (x) dx = [F(X)]_a→b = F(b) - F(a). Esto se llama una integral definitiva de la función de valor único y continuo y = ƒ (x) entre A y B. Esto le da al área debajo de la curva entre a y b. Esto también se llama Riemann Integral. Riemann integral fue creado por Bernhard Riemann. La integral de Riemann de una función continua se basa en la medida de Jordan, por lo tanto, también se define como el límite de las sumas de Riemann de la función. Para una función valorada real definida en un intervalo cerrado, la integral de la función de Riemann con respecto a una partición x₁, X₂,… , X_norte definido en el intervalo [a, b] y t₁, T₂,…, T_norte, donde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 Para cada i ε 1, 2, ..., n, la suma de Riemann se define como σ_{i = o a N-1} ƒ (t_i)(X_i+1 - X_i).

Integral de Lebesgue

Lebesgue es otro tipo de integral, que cubre una amplia variedad de casos que la integral de Riemann. La integral de Lebesgue fue introducida por Henri Lebesgue en 1902. La integración de Legesgue puede considerarse como una generalización de la integración de Riemann.

¿Por qué necesitamos estudiar otra integral??

Consideremos la función característica ƒ_{A (x) = 0 si, x no ε a}^{1 si, x ε a} en un set a. Luego combinación lineal finita de funciones características, que se define como F(x) = σ a_iƒmi_i(x) se llama función simple si mi_i es medible para cada yo. La lebesgue integral de F(x) sobre mi se denota por _mi∫ ƒ (x) dx. La función F(x) no es riemann integrable. Por lo tanto, Lebesgue Integral es una integral Riemann, que tiene algunas restricciones a las funciones que se integran.